Математический маятник
Математическим маятником обычно называют тело малых размеров (материальную точку), подвешенное к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Рассмотрим движение плоского математического маятника по дуге
где Уравнение (1) является основным законом динамики движения и в проекции на ось τ представляет движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:
где
Поскольку
то, сокращая на m и, полагая
Для малых углов отклонения маятника, при которых
Решение данного уравнения может быть записано в виде
где А – амплитуда, δ – начальная фаза колебания. Таким образом, при малых амплитудах математический маятник совершает гармонические колебания с частотой Если определить период колебания математического маятника
Из разности двух последних выражений
получим
Формула (3) позволяет определить ускорение силы тяжести при помощи математического маятника. Физический маятник Физическим маятником называют твердое тело, способное совершать колебания вокруг некоторой оси, не проходящей через его центр масс. В положении равновесия центр масс маятника (точка С) находится с точкой подвеса маятника О на одной вертикали (рис. 13). Колебания физического маятника, так же как и математического происходят под действием силы тяжести. При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращающий момент силы тяжести
где
Модуль момента силы тяжести равен
где l – расстояние от точки подвеса до точки приложения силы тяжести, т.е. до центра масс тела. Из уравнения динамики вращательного движения тела следует, что момент силы тяжести равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение, т.е.
где I – момент инерции тела относительно оси вращения, e – угловое ускорение. Знак минус означает, что направление вектора момента силы тяжести противоположно направлению вектора углового ускорения. Учитывая, что
Это уравнение приводится к следующему виду:
Введем обозначение
Решение этого уравнения имеет вид
где Поскольку
Для математического маятника, момент инерции которого равен
выражение для периода колебаний будет следующим
Из сопоставления последних двух формул получается, что математический маятник с длиной
будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Эту величину называют приведенной длиной физического маятника. Точку на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащую на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называют центром качания физического маятника (точка Обозначим момент инерции физического маятника относительно оси проходящий через центр масс за
Подставив в уравнение (6) момент инерции, определяемый выражением (7) получим следующее выражение:
Из уравнения (8) видно, что приведенная длина всегда больше l, так что точка подвеса O и центр качания лежат по разные стороны от центра масс C. Зная период колебания T, массу маятника m и приведенную длину, можно рассчитать момент инерции I физического маятника
или
где l – расстояние от точки подвеса до центра масс. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|